Nato il 26 agosto 1787 ad Alessano, il Costa si dedicò allo studio di varie discipline, che perfezionò a Napoli, dove si era trasferito dal 1808 per frequentare quella Università. Laureatosi in Medicina tornò a Lecce, dove si avviò alla pratica medica con Pasquale Manni, che lo introdusse allo studio della Botanica e della Storia Naturale, imparando, praticamente da autodidatta, anche la Zoologia e la Mineralogia. Iniziò a compiere escursioni per il territorio della Provincia raccogliendo ogni sorta di campioni naturalistici, con cui cominciò a costituire un piccolo Museo, che dotò subito, con grande sacrificio personale, anche di apparecchi per l’insegnamento della Fisica e della Chimica. Iniziò sistematiche osservazioni meteorologiche, le prime del genere per Lecce.

Per questa sua attività nel 1813 gli venne affidato l’incarico di insegnare, senza compenso (!), la Fisica nel famoso Collegio Reale di Lecce. Nel 1816 gli fu finalmente assegnato uno stipendio ma nel 1820 fu rimosso dall’incarico per motivi politici. Nel 1824, non sentendosi più vincolato alla sua terra natale, si trasferì a Napoli, dove ottenne subito significativi riconoscimenti per la sua attività scientifica, divenendo membro dell’Accademia Reale delle Scienze e dell’Accademia Pontaniana. 

Dal 1827 al 1839 viaggiò, su incarico dell’Accademia Reale, in varie parti del Regno riportandone numerosi risultati di notevole interesse scientifico. Apprezzato anche come medico, fece parte della delegazione governativa inviata a Vienna per studiare cause e cure del colera. Questi incarichi e le opere che andava pubblicando convinsero il Governo Napoletano a conferirgli la cattedra di Zoologia all’Università, giusto in tempo per evitare che accettasse l’invito del Governo Inglese a ricoprire un incarico all’Università di Corfù.

Iniziò così la sua appassionata e fruttuosa attività di docente, che lo portò a costituire l’Accademia degli Aspiranti Naturalisti allo scopo di migliorare la preparazione dei giovani interessati alle scienze naturali. Intraprese un lungo viaggio in Italia, Francia e Svizzera, in compagnia del figlio Achille anch’egli zoologo, raccogliendo tributi di stima e di apprezzamento da molti dei più famosi scienziati del momento. Ma al ritorno, per questioni politiche, iniziò per lui un triste periodo di contrarietà e privazioni. L’infuriare della reazione del 1849 portò allo scioglimento dell’Accademia degli Aspiranti Naturalisti e alla sua rimozione dalla cattedra universitaria.